Interféromètre à ondes multiples

Un dispositif simple peut être constitué par une lame de verre d'épaisseur et d'indice éclairée par une source monochromatique à l'infini, c'est à dire éclairée par des ondes planes. La figure 16 illustre la géométrie de l'interféromètre. L'onde plane incidente est réfléchie et transmise une multitude de fois.

On note et les facteurs de transmission en amplitude des ondes aux interfaces air-verre. Le coefficient de réflexion en intensité est très grand, de l'ordre de 99%, de sorte qu'on ne considère pas ici le cas simple de la lame à faces parallèle où on ne considère que les deux premiers rayons (voir figure 5). Par ailleurs, les coefficients de transmission et réflexion sont identiques pour les deux dioptres. Les angles  et sont liés par la relation de Descartes . La différence de chemin optique entre deux ondes consécutives en transmission, est égale à [ ] :

En réflexion, nous avons

En transmission, le déphasage entre deux ondes consécutives est donc :

En sortie de la lame, en réflexion ou transmission, l'amplitude complexe est égale à la somme de toutes les ondes transmises ou réfléchies par la lame. Il suffit d'écrire l'amplitude des ondes qui interfèrent en prenant comme origine des phases la première onde . Considérons que l'onde incidente est plane, polarisée suivant , de vecteur d'onde , nous avons simplement :

Après la traversée de la lame, on a :

pour  :

car l'onde traverse les deux dioptres et en et .

pour  :

car double traversée de l'interface air-verre en et et double réflexion à l'interface en et et déphasage par rapport à la première onde ;

pour  :

car double traversée en et et quatre réflexions en , , , ce qui correspond à un déphasage de par rapport à la première onde.

La sommation des champs complexes donne :

On reconnaît une suite géométrique de raison et de premier terme 1. Soit le nombre total de termes, on a pour la somme

et compte tenu que est inférieur à 1, , il reste donc :

Le signal d'interférences est proportionnel à :

d'où :

que l'on écrira :

Comme , on a :

Posons : , et

avec :

il vient :

Les valeurs minimales et maximales du signal sont :

et le contraste vaut :

Les courbes de la figure 17 illustrent le signal d'interférences en transmission en fonction de différentes valeurs du coefficient de réflexion .

On constate que plus le coefficient de réflexion est élevé et plus le profil des franges s'éloigne du profil sinusoïdal classique. Pour , le profil s'affine et constitue une fonction de filtrage dont les propriétés seront utilisées dans la partie « Étude de cas » de ce cours. Le cas correspond au cas d'une lame de verre d'indice 1,5 traitée précédemment au paragraphe 3.1.

Supposons que la lumière incidente sur l'interféromètre de Fabry-Pérot soit polychromatique. Si le spectre de la lumière est composé d'un doublet très fin, les deux pics sont alors très proches, ils peuvent être discernés si ces derniers sont très fins comme les pics représentés en rouge figure 17.

D'après l'expression de la fonction la largeur à mi-hauteur des pics de résonance de l'interféromètre est égale à :

A partir de ces deux expressions on définit la finesse de l'interféromètre par :

Ces paramètres sont illustrés sur la figure 18.

Le tableau 1 donne des valeurs des paramètres de modulation, contraste et finesse en fonction du coefficient de réflexion.

Le lecteur remarquera que dans le cas 4%, nous ne sommes plus en présence d'interférences à ondes multiples et qu'on retrouve le résultat vu plus haut relatif à une lame à faces parallèle traitée dans le cas des interférences à deux ondes (figure 5 et paragraphe 3.1).

L'interféromètre de Fabry-Pérot est couramment utilisé pour les analyses spectrales.

On l'utilise aussi souvent constitué d'une lame d'air d'épaisseur et de coins de verre dont les faces composants la lame de verre sont traitées pour que les coefficients de réflexion soient très élevés et proche de 1. On parle alors de « cale étalon ». Ce type de système est utilisé dans les cavités laser pour affiner spectralement et rendre la source monomode longitudinale, donc cohérente. La figure 19 présente le schéma de principe ainsi qu'une photographie d'une cale étalon.