Introduction

L'objectif principal de ce cours est de présenter de façon concise et suffisamment précise les éléments nécessaires à la compréhension de la transformation de Fourier fractionnaire. Dans ce titre, deux notions apparaissent : 1. la transformation de Fourier, 2. ordre fractionnaire. Il n'est plus nécessaire d'exposer l'énorme implication de ce premier sujet dans le domaine de la physique. En particulier celle qui traite de l'optique physique (dite de Fourier) et celle du traitement du signal. Le second thème "d'ordre fractionnaire" ne concerne en rien le calcul de fractions. Mais il reflète, pour le moment, une question fondamentale qui est de savoir s'il existe un domaine de description d'un signal entre le domaine spatial et le domaine spectral. La Transformation de Fourier d'ordre fractionnaire est une généralisation de la Transformation de Fourier. En écrivant la transformation de Fourier classique d'une fonction sous la forme on peut généraliser cette écriture pour n'importe quel ordre fractionnaire . La Transformation de Fourier fractionnaire (FRFT) d'ordre de sera :

Pour , on trouve l'opérateur identité et le résultat donnerait la fonction . Pour , on trouve la transformation de Fourier classique. Rappelons que l'objectif principal est de définir la transformation de Fourier fractionnaire pour accéder à un domaine, dit fractionnaire, entre le domaine spatial et le domaine spectral. Il faut savoir qu'il existe également des opérateurs bilinéaires temps-fréquence. Ces opérateurs sont multiples et leur objectif principal est de donner une représentation du signal sur une cartographie de coordonnées spatiales-fréquences spatiales ou temporelles-fréquentielles. Les représentations qui vont nous intéresser sont celles de Wigner, d'une part et de Radon-Wigner d'autre part. Le passage d'un système de coordonnées à l'autre s'effectue par la Transformation de Fourier. La transformation de Fourier fractionnaire place le signal dans un domaine intermédiaire entre le domaine temporel et le domaine fréquentiel. Elle possède donc des relations étroites avec les distributions temps-fréquence et en particulier la distribution de Wigner. Enfin, comme tout opérateur, il est primordial de proposer un moyen numérique pour calculer la transformée de Fourier fractionnaire d'une fonction. Nous allons donc voir dans ce chapitre :

1. La définition mathématique de la transformation de Fourier fractionnaire,

2. Les propriétés liées à cet opérateur,

3. Les représentations bilinéaires et la transformation de Fourier fractionnaire,

4. La numérisation de la transformation de Fourier fractionnaire.