Résolution sous forme d'une transformation de Fourier fractionnaire
Notons
la transformée de Fourier classique de
. De manière générale, il s'agit de la transformée de Fourier fractionnaire d'ordre 1 de
. Nous pouvons ainsi écrire :
L'équation de propagation
devient dans le domaine de Fourier classique :
dont la solution est donnée par :
où
est la transformée de Fourier classique de l'amplitude du champ à l'entrée du milieu dispersif (en z=0), donnée par :
.
Comme
est la transformée de Fourier inverse de
, nous obtenons la solution générale :
![[zoom...]](javascript:window.open(%22../res/Eq_C_ext_09_1.jpg%22,%22_blank%22,%22width=%22+Math.min(800,screen.availWidth)+%22,height=%22+Math.min(600,screen.availWidth)+%22,left=%22+(screen.availWidth-800)/2+%22,top=%22+(screen.availHeight-600)/2+%22,scrollbars=yes,resizable=yes%22)?void(0):void(0)){kind=link}
qui s'écrit encore :
Définissons
et définissons la nouvelle variable s selon :
L'équation précédente devient alors
où
On voit donc apparaître une transformation de Fourier fractionnaire et en utilisant la loi de composition de la transformée de Fourier fractionnaire, on obtient directement :
l'amplitude de l'impulsion peut être déterminée à tout moment à l'aide d'une transformée de Fourier fractionnaire de l'impulsion incidente []. L'ordre fractionnaire nécessaire est directement relié à la distance parcourue dans le milieu dispersif, à savoir :
avec :