Techniques de décomposition en séries de Fourier fractionnaire

La décomposition d'un signal en série de Fourier est une technique très connue. De manière assez semblable, on peut développer des techniques de décomposition en séries de Fourier fractionnaire [].

Si l'on considère maintenant une fonction apériodique  définie sur l'intervalle , elle peut se décomposer sur la base de fonctions précédente selon :

où les coefficients de décomposition sont donnés par :

et où dénote le complexe conjugué de . En pratique, la reconstruction est tronquée à , avec ajustable pour obtenir la reconstruction la plus fidèle possible. Prenons par exemple le signal impulsionnel :

où est la durée à mi-hauteur de l'impulsion et L0 = 1 un paramètre de dérive de fréquence linéaire. La figure 8 présente le module des différents coefficients  dans le plan . On peut voir en particulier émerger l'ordre fractionnaire privilégié . Il s'agit de l'ordre optimal pour lequel on vérifie :

La détermination de cet ordre optimal permet de connaître la dérive de fréquence linéaire de l'impulsion. Nous avons pris ici . Nous obtenons alors L0 = 1 conforme à la valeur de L0 choisie lors de cette simulation.La figure 9 présente de manière plus détaillée en fonction du coefficient de décomposition n.

Si l'impulsion n'avait pas d'enveloppe gaussienne, il n'y aurait qu'un seul coefficient non nul en n = 0. Par ailleurs, si le signal contenait une dérive de fréquence d'ordre supérieur, le nombre de coefficients non nuls augmenterait. En particulier, on observerait une disymétrie apparaître entre les coefficients à n positif ou négatif pour une dérive de fréquence supplémentaire quadratique [].

Une fois les coefficients déterminés, il est possible de reconstruire la fonction de départ, comme le montre la figure 10. Notons que dans ce cas, la reconstruction est très fidèle. Les parties réelles et imaginaires des fonctions originale et reconstruite sont confondues [].