Un exemple expérimental : l'analyse de signaux SPIRIT

Dans cette dernière partie, nous allons appliquer ces différentes techniques à un signal expérimental pour la caractérisation d'impulsions ultra-courtes.

La méthode SPIRIT (interférométrie spectrale résolue en temps) développée à XLIM (Limoges) consiste à créer 2 répliques décalées temporellement de l'impulsion à mesurer [ ]. Ces répliques sont ensuite dirigées vers un spectroscope, les deux légèrement décalées spatialement l'une par rapport à l'autre, équivalent à un décalage spectal. Un tel montage produit un interférogramme instationnaire donné par [ ] :

où est la transformée de Fourier de l'amplitude du champ incident,  sa phase spectrale, ­ le décalage spectral, et  le délai temporel entre les 2 répliques. t est le temps. Après simplification, on peut écrire :

Considérons le cas d'impulsions présentant une phase spectrale possédant des termes quadratique et cubique : . L'interferogramme SPIRIT contient alors des termes de la forme . et donc des termes avec une dérive de fréquence linéaire : le terme ­ . Il existe donc un ordre fractionnaire particulier qui permet de retrouver cette dérive linéaire. La correspondance entre cet ordre fractionnaire optimal et le terme de phase

correspondant est donnée par :

Inversement, le terme de phase est directement obtenu à partir de l'ordre fractionnaire optimal par la relation :

La figure 11 montre un exemple expérimental de signal SPIRIT de ce type

• Dans un premier temps, nous avons réalisé des transformées de Fourier fractionnaire de différents ordres de cet interférogramme. La figure 12 illustre les résultats. Il y un ordre bien particulier qui permet de mettre en évidence la dérive de fréquence linéaire présente dans le signal : on voit apparaître un pic très fin. Pour comparaison, ce pic est totalement absent pour un autre ordre a = 1.5.

• Dans un deuxième temps, nous avons appliqué la technique de decomposition en séries de Fourier fractionnaires à l'interférogramme. La figure 13 montre les valeurs des différents ordres de décomposition dans le plan .

Figure 13 : Cartographie des coefficients de décomposition

On peut y distinguer un domaine particulier (voir la flèche). Il est dû au terme de dérive de fréquence linéaire du signal SPIRIT. Ce pic se situe à la position (comme précédemment). Nous avons alors

Nous avons pris dans ces simulations, ce qui permet d'en déduire . Par ailleurs ce pic est à la position et nous pouvons écrire :

où  le support de l'interférogramme. Dans notre cas , ­ et . Nous pouvons alors en déduire :

La figure 14 illustre une telle reconstruction à partir d'un interférogramme bruité (il s'agit dans ce cas de simulation). La reconstruction a été faite en prenant en compte toutes les fonctions entre n = -80 et n = 80. Le bruit est efficacement éliminé via la reconstruction.