Description de la propagation par TF fractionnaire

Comme nous pouvons le constater, si l'on souhaite décrire la propagation au moyen de variables spatiales, la définition de la TF fractionnaire pose problèmes puisque ses variables sont sans dimensions. Ceci constitue la première problématique. Une solution a été proposé par . Cette solution consiste à donner une interprétation optique de la TF fractionnaire dans l'espace de Wigner.

Reste ensuite à trouver les éléments optiques de cette interprétation.

Lohmann a décomposé cette rotation en trois étapes comme l'illustre la figure (4).

Figure 4 : (a) Contour d'origine, (b) Etirement fréquentiel, (c) Etirement spatial, (d) Etirement fréquentiel. x, variable spatial, variable fréquentiel

Cette illustration est pour un angle  de  .

Ces trois étapes se résument à un étirement fréquentiel de la distribution, suivi d'un étirement spatial et enfin un dernier étirement fréquentiel. Les étirement fréquentiels sont réalisés optiquement par une lentille et l'étirement spatial par un produit de convolution, autrement dit une propagation. Dans , le paramètre apparaît sous la forme d'une focale abstraite dépourvue de sens physique. Cette ambiguité a été soulevée en remplaçant le paramètre  par  dans l'interprétation de la TF fractionnaire par la distribution de Wigner.

Cette interprétation de la TF fractionnaire est telle que

où les variables  ,  et  ont la dimension d'une longueur. Le coefficient de normalisation vaut quant à lui :

Pour et des variables sans dimensions, la définition mathématique de la transformation de Fourier fractionnaire est retrouvée. Dans notre cas, la définition donnée à  est liée à la façon dont on échantillonne le signal et à l'expression de la TF numérique. Car c'est bien le numérique qui nous sert pour une métrologie par TF fractionnaire. Pour définir la valeur de  , il est nécessaire d'écrire la définition de la TF fractionnaire dans le cas particulier où  :

Sa version discrétisée vaut :

où  et   représentent le pas d'échantillonnage de et de sa transformée suivant les abscisses et  et  suivant les ordonnées.

Le nombre d'échantillons suivant l'axe des abscisses est M et N suivant les ordonnées.

Que nous soyons dans le domaine spatial ou le domaine spectral, le nombre d'échantillons est le même.

La relation (2.16) doit s'écrire comme la transformation de Fourier discrète proposée par des logiciels, c'est-à-dire :

En identifiant les relations (2.17) et (2.16), nous obtenons :

La TF numérique ne "voit" que des pixels, sans dimension, au même titre que la FFT (Fast Fourier Transform).

Donc quelques soient les domaines de description (spatial ou fréquentiel), c'est le pixel qui échantillonne.

C'est la raison pour laquelle nous posons : et .

La transformation de Fourier est un cas particulier de la TF fractionnaire, nous pouvons alors écrire que :

A partir de cette définition de la TF, l'équation (2.4) devient :

 est la transformée de Fourier inverse de  :

que l'on peut également énoncer comme étant une transformation de Fourier fractionnaire d'ordre  telle que :

où

et d'ordre fractionnaire :

Puisque la distribution du champ  est la transformée de Fourier fractionnaire d'ordre  de , alors par composition  , nous pouvons définir la distribution d'amplitude du champ à une distance  en fonction de la distribution d'amplitude à la distance en faisant apparaître une transformation de Fourier fractionnaire d'ordre  en facteur avec un terme de phase quadratique telle que :

La relation (2.26), d'après Bonnet et Pellat-Finet  , met en évidence le problème du résidu de phase quadratique dépendant de la variable  . Lorsque l'on considère la diffraction dans l'approximation de Fraunhofer, une transformation de Fourier pure est suffisante. Dans cette approximation les termes de phase quadratique n'interviennent pas. Autrement dit, les courbures n'interviennent pas. Seuls sont considérés les plans.

La théorie métaxiale apparaît comme un prolongement de la théorie de l'optique paraxiale.

Bonnet explique clairement la démarche :

la recherche d'une imagerie cohérente impose que l'équation (2.26) ne contienne pas le terme  qui l'affecte. Ce terme de phase quadratique fait allusion à la notion de transparence de courbure. Cette transparence de courbure devient neutre pour une courbure particulière . Nous trouvons donc une image cohérente sur un récepteur sphérique.

Figure 5 : Image cohérente sur la calotte sphérique de courbure

L'image cohérente de  se trouve donc sur une sphère de rayon de courbure  comme l'illustre la figure (5).

La définition du champ sur la calotte sphérique est définie par :

avec les changements d'échelle suivants :

Cette transformation d'ordre fractionnaire implique une modification de la relation (2.25) :

Les propriétés de la TF fractionnaire deviennent intéressantes dans le cas de la description de la propagation.

Si tend vers 0, l'ordre est nul. L'opérateur fractionnaire tend alors vers qui est l'opérateur identité.

Si maintenant tends vers l'infini, tend vers  . Il s'agit de l'opérateur TF classique.

Figure 6 : (a) fonction gaussienne à avec

Du point de vue de la diffraction, il s'agit de la diffraction dans l'approximation de Fraunhofer.

Nous passons donc continûment du champ initial à son spectre angulaire.

Prenons un faisceau gaussien tel que son amplitude est définie par :

avec le rayon du faisceau à . La figure (6) donne une représentation graphique.

Figure 7 : Distributions d'intensité à avec

La distribution d'amplitude du faisceau gaussien à une distance compte tenu de la relation de Fresnel (2.10) vaut :

avec

La comparaison des distributions d'intensité et  pour  et  est illustrée figure (7).

L'ordre fractionnaire vaut, quant à lui, et la distribution d'amplitude  se trouve sur une sphère de rayon de courbure .