Fonctions séparables
Introduction
Une fonction de 2 variables indépendantes est dite séparable si on peut l'écrire sous forme d'un produit de 2 fonctions chacune d'entre elles dépendant d'une seule variable.
Exemples :
en coordonnées polaires
Ces fonctions sont plus simples à traiter car la TF bidimensionnelle se réduit au produit de 2 TF unidimensionnelles :
Fonctions à symétrie circulaire
Ces fonctions jouent un rôle important en optique qui possède pour la plupart ce type de symétrie. On dit que la fonction g est à symétrie circulaire si on peut l'écrire comme une fonction de la seule variable r en coordonnées polaires :
D'après la définition de la TF :
Pour exploiter la propriété de la symétrie circulaire de g on passe en coordonnées polaires planes dans les plans (x,y) et (u,v) :
Dans le cas général, on a :
En coordonnées polaires, on écrit :
donc
Pour couvrir tout le plan (x,y) de
à
les bornes de la double intégrale deviennent
et
. Donc
On définit la fonction de Bessel de « 1ère espèce » d'ordre 0, J0(a) en fonction de la variable a sans dimension, par l'intégrale suivante :
On peut toujours choisir l'origine des angles dans le plan (u,v) de façon à prendre
. ainsi (I-1) devient :
En intégrant cette dernière sur r, on remarque que
ne dépend que de
.
Cette forme particulière de la TF revient assez fréquemment en optique. On l'appelle transformation de Fourier-Bessel ou bien transformation de Hankel d'ordre 0.
Une démonstration identique montre que la TF inverse d'une fonction à symétrie circulaire
peut s'exprimer par
Ainsi il n'y a pas de différence entre les transformations directes et inverses (pour les fonctions à symétrie circulaire). On utilise la notation B{ } pour représenter la transformation de Fourier-Bessel.
B{ } n'est rien d'autre qu'un cas particulier de la TF bidimensionnelle. Donc toute propriété classique de la TF trouve son analogue parmi les propriétés de B{ }. En particulier :