Lois de la réfraction

Considérons une surface S de l'espace, séparant deux milieux d'indices respectifs n1 et n2 contenant respectivement les point A et B. Le trajet effectivement suivi par la lumière pour aller de A à B passe par le point I sur la surface.

AI est le rayon incident, IB est le rayon réfracté.

L = n1.AI + n2.IB est le chemin optique (AIB).

Un petit déplacement dI de I provoque une variation dL telle que dL/dI = 0 en vertu du principe de Fermat. L'expression (3) appliquée aux parcours AI et IB donne :

de même

Puisque , finalement :

Si est le vecteur unitaire dans la direction de la normale, celui dans la direction .

soit :

Le principe de Fermat imposant, pour un trajet effectivement suivi par la lumière, dL/dI = 0 pour tout , et sont perpendiculaires donc et sont parallèles.

montre que et appartiennent à un même plan P.

P est le plan d'incidence, il contient le rayon incident, le rayon réfracté et la normale à la surface en I, i1 et i2 sont, dans ce plan, les angles entre les rayons incidents et réfractés par rapport à la normale. On en déduit la relation de réfraction vectorielle :

Et, par projection dans le plan de la surface :

Les lois de Descartes se déduisent des relations précédentes:

Loi 1 : Le rayon réfracté est dans le plan d'incidence

Loi 3 : Les angles i1 et i2 des rayons incidents et réfléchis sont tels que n1.sini1 = n2.sini2

La loi 2 concerne les surfaces réfléchissantes, pour lesquelles i1 = - i2 . On verra par la suite que les formules des surfaces réfractantes s'appliquent aux surfaces réfléchissantes en prenant : n2=-n1.