Restitution des hologrammes de fibre par TF fractionnaire
Le but, ici, est de mettre en évidence que la transformation de Fourier fractionnaire permet de restituer les images holographiques lorsque l'indice fractionnaire optimal est sélectionné. Nous appliquerons encore une fois le raisonnement sur le terme noté
. Calculons sa transformée de Fourier fractionnaire :
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En écrivant l'équation (3.17) comme la somme de transformations de Fourier fractionnaires, nous obtenons :
Les calculs de
et de
nous donnent les résultats suivants :
et
où
L'écriture des intensités de
et de
est donc :
et
Ces expressions réalisent la projection de Radon de
et de
suivant un axe
faisant un angle
avec l'axe des
.
La ré-écriture de
comme une fonction de deux FRFT d'ordres
facilite son interprétation. En effet si :
alors l'équation (3.21) montre que
tend vers
et par conséquent
devient une transformation de Fourier classique.
En omettant la constante
n'est autre que la fonction objet
.
Il est important de noter que la relation (3.24) représente une re-focalisation numérique sur l'image de la fibre compte tenu de la relation (2.29).
Nous sommes, en fait, dans le cas d'une annulation du terme de phase du à la propagation sur une distance
. Ainsi l'enveloppe est extraite et c'est sur cette enveloppe qu'une TF classique est réalisée.
L'annulation du terme de phase au moyen d'une TF fractionnaire d'ordre optimal correspond à une rotation optimale dans la représentation de Wigner où une des deux branches devient parallèle à l'axe des fréquences spatiales
. Cette relation est bien connue pour transformer une dérive de fréquence en une impulsion de Dirac.
Simulations
En pratique, le niveau d'intensité du fond d'une figure de diffraction ne présente pas d'intérêt. Du point de vue physique, il correspond à une onde de référence unitaire. Le terme constant de
sera donc soustrait pour obtenir une moyenne proche de zéro.
dénote la fonction corrigée.
est sa représentation dans le domaine fractionnaire
. Pour exemple, nous allons reprendre la courbe illustrée figure 9 obtenue rappelons-le pour
,
et pour la longueur d'onde
. Sa fonction de distribution de Wigner est représentée figure 11. Appliquons la transformation de Fourier fractionnaire sur
.
Nous obtenons
dont la figure 12 illustre la restitution de la fibre.
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Figure 12 : Restitution par FRFT de
pour un indice fractionnaire optimal de 0, 5
Cette courbe est très proche de la fonction rectangle.
Les oscillations sont liées aux termes croisés de la relation (3.13) et à la projection du terme
sur l'axe
dans l'espace de Wigner.
La distribution de Wigner de cette transformation, figure 13, met bien en évidence une rotation de
de
. Cette rotation est la rotation optimale déterminée grâce à la relation (3.24). Nous avons, par cet opération, rendu parallèle la distribution liée à
à l'axe des fréquences spatiales. En calculant son module au carré, la densité d'énergie est optimisée par projection. Si nous avions réalisé une FRFT d'ordre opposé
, nous aurions rendu la distribution de Wigner liée à
parallèle à l'axe des fréquences spatiales comme le montre la figure 13. Dans ce cas, nous aurions refocalisé sur l'image réelle.