L'équation d'Helmholtz

Une perturbation lumineuse au point P et à l'instant t est représentée par la fonction scalaire u(P,t). Pour une onde monochromatique on peut écrire explicitement le champ sous la forme :

A(P) et φ(P) sont respectivement l'amplitude et la phase de l'onde en P ; v est la fréquence temporelle. Dans la notation complexe adoptée :

U(P) est l'amplitude complexe.

Si la perturbation réelle u(P,t) représente une onde optique, elle doit satisfaire en tout point de l'espace où il n'y pas de source à l'équation d'onde scalaire :

Δ étant l'opérateur Laplacien : et c la vitesse de la lumière.

Comme la dépendance par rapport à t est connue à priori, la fonction complexe U(P) suffit à décrire la perturbation. En remplaçant (II-7) dans (II-8), on voit que l'amplitude complexe doit obéir à l'équation suivante :

L'équation (II-9) est connue sous le nom d'équation d'Helmoltz. A l'avenir nous supposerons que l'amplitude complexe de toute onde optique monochromatique qui se propage dans un espace libre doit obéir à une telle relation