Théorie quantique pour la réflectivité des neutrons
La dualité onde-corpuscule des rayonnements électromagnétiques se matérialise du point de vue mathématique par la ressemblance entre l'équation d'Helmholtz régissant la propagation de la lumière et l'équation stationnaire de Schrödinger propre aux particules massives telles que les neutrons. En reprenant le formalisme des ouvrages de référence de la mécanique quantique [ ] nous allons traiter du cas étudié au paragraphe précédent selon la théorie classique ondulatoire et établir les connections entre les expressions trouvées selon ces deux approches.
Nous chercherons donc l'expression de la fonction d'onde indépendante du temps propre à la particule soumise au potentiel V(r). La solution la plus générale de l'équation de Schrödinger est :
Nous traitons de la diffusion élastique (sans changement d'énergie) des neutrons au cours d'un phénomène stationnaire (indépendant du temps). Nous allons déterminer
, la fonction d'onde cohérente stationnaire de la particule quantique non relativiste utilisée pour tous les phénomènes de l'optique neutronique. Elle est solution de l'équation de Schrödinger dite à un corps aux valeurs propres indépendantes du temps :
Dans le vide (pris comme milieu d'incidence I), l'énergie de la particule E0 est purement cinétique. Le module du vecteur d'onde s'exprime selon cette énergie :
Dans un matériau (noté T), l'énergie (ET) est la somme de l'énergie cinétique de la particule (TT) et de l'énergie potentielle (VT) mesurant son énergie d'interaction avec la matière. Le module du vecteur d'onde vaut :
Suivant la conservation d'énergie associée à la rencontre d'un dioptre, nous obtenons :
Selon le formalisme optique, le rapport des modules des vecteurs de diffusion est l'indice de réfraction du matériau T par rapport au vide. Il s'en suit l'expression de ce rapport et les égalités le liant aux grandeurs utilisées dans le formalisme quantique :
Le produit
est la densité de longueur de diffusion du matériau T (d'unité inverse à une surface et souvent donnée en
). En optique, la vitesse de propagation d'un rayonnement dans un matériau l se traduit en terme d'indice optique du milieu (nl) ce qui revient à comparer cette vitesse à celle qu'aurait l'onde dans le vide.
A cette grandeur caractéristique, la communauté des rayons-X et des neutrons préfère la densité de longueur de diffusion dont l'expression ne dépend pas directement de la longueur d'onde bien qu'elle soit aussi propre à certaines gammes d'énergie du rayonnement.
Ces deux grandeurs sont liées par la relation ci-dessus ainsi qu'avec l'angle critique mesuré depuis le vide suivant la relation que nous introduirons ultérieurement.
On peut aussi introduire dans l'expression le potentiel de diffusion du matériau T définit par :
Pour les neutrons le potentiel VT s'obtient en intégrant le pseudo-potentiel de Fermi sur le volume du matériau T considéré. Dans la gamme d'énergie utilisée, ce potentiel permet de quantifier l'interaction neutron-noyau lié :
Notons que le potentiel VT est pour cet exemple considéré comme constant dans le matériau T supposé donc homogène. Après intégration sur le volume du milieu T, on obtient le potentiel macroscopique :
Le dioptre plan sur lequel a lieu la réflexion sépare deux milieux semi-infinis de potentiels constants. On définit :
En introduisant l'indice de réfraction dans l'expression , on obtient :
La solution générale de cette équation s'exprime comme une superposition d'ondes planes :
A une dimension, L'équation devient :
où
correspond est l'angle d'incidence de l'onde sur le dioptre. Cette expression est nommée équation de la réflectivité et ses solutions (ondes planes) sont alors du type :
La continuité de cette fonction d'onde et de sa dérivée à la rencontre du dioptre conduisent à :
nous retrouvons les coefficients dits "de Fresnel" propres au passage du matériau I vers le matériau T :
où les modules des vecteurs de diffusion
sont le double des modules des vecteur d'onde k.
La théorie quantique nous conduit naturellement à une quantité scalaire du coefficient de réflexion rIT. Si nous comparons ce coefficient à celui obtenu au paragraphe précédent dans le cadre de la théorie optique, on s'aperçoit qu'il correspond au coefficient de réflexion
. Ceci explique l'analogie souvent faite entre ces deux quantités.
Il est admis qu'on peut négliger les différences entre
lorsque la réflexion se fait aux faibles angles d'incidence pour un rayonnement non polarisé.
Ce sont les conditions habituelles de travail avec les faisceaux X utilisés pour caractériser des couches minces. Dans ces conditions, il nous semble qu'il serait plus correct de calculer les différents coefficients de réflexion correspondant aux polarisations du faisceau. En quelque sorte, nous considérons un faisceau non polarisé comme un faisceau contenant toutes les polarisations et donc comme un ensemble d'ondes qui se réfléchiront différemment sur le dioptre considéré. Nous n'avons pas effectué ce calcul pour lequel il faut considérer les interférences entre toutes ces ondes de façon à obtenir un coefficient effectif de réflexion pour le faisceau.
La quantité accessible étant le flux de particules, nous appliquons l'opérateur densité de courant de particules aux fonctions d'onde :
Pour l'onde incidente :
Pour l'onde réfléchie :
Et pour l'onde transmise: Considérons que le vecteur
peut avoir des composantes complexes (ce cas est discuté plus loin en introduisant l'absorption du rayonnement dans le matériau). On pose
en définissant les notations :
Nous obtenons :
On en retiendra les flux suivants, pour le faisceau incident, réfléchi et transmis, respectivement :
et la réflectivité et la transmission, selon les rapports :
Ainsi on retrouve R+T=1 lorsque
(on note souvent :
). Quand ce n'est pas le cas, l'exponentielle introduit une décroissance liée à l'absorption de l'onde dans le milieu T. Ce cas est discuté dans la suite.